[④5G NR]: 5G LDPC编码算法

03-05 1146阅读 0评论

前言

博主在[③5G NR]: 3GPP协议中LDPC编码流程解读中介绍了5G中LDPC码编码的相关流程，在这篇博客中就介绍下在5G中LDPC码具体编码的算法。因为在5G中LDPC码的PCM(Parity Check Matrix)有着特殊的构成，所以它有快速的编码的算法。

$[④5G NR]: 5G LDPC编码算法,[④5G NR]: 5G LDPC编码算法,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,使用,我们,方法,第1张$

（图片来源网络，侵删）

循环位移 Cyclic Shift

5G使用的是QC-LDPC(Quasi-Cyclic Low Density Parity Check Code)编码方法，所以首先来讲下循环位移这个概念。

对长度为 Z Z Z的向量 b ⃗ = [ b 0 , . . . , b z − 1 ] T \vec{b}=[b_0,..., b_{z-1}]^T b =[b0,...,bz−1]T 向左做1位的循环位移：

σ ( b ⃗ ) = [ b 1 , . . . , b z − 1 , b 0 ] T σ(\vec{b})=[b_{1},..., b_{z-1},b_0]^T σ(b )=[b1,...,bz−1,b0]T

等价的矩阵运行算是：

σ ( b ⃗ ) = P ⋅ b ⃗ σ(\vec{b})=P·\vec{b} σ(b )=P⋅b

其中 P P P为单位阵 I I I向右列循环1次得到的矩阵：

P = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 ⋯ 0 ] P=\begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 1&0&0&\cdots&0\\ \end{bmatrix} P= 00⋮0110⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮10

如果 P i P^i Pi表示 I I I向右列循环 i i i次得到的矩阵，那么向量 b ⃗ \vec{b} b 向左做 i i i次循环位移可以表示为：

σ i ( b ⃗ ) = P i ⋅ b ⃗ σ^i(\vec{b})=P^i·\vec{b} σi(b )=Pi⋅b

校验矩阵 PCM

根据3GPP 38.212协议，LDPC码的校验矩阵是由基矩阵 H B G H_{BG} HBG(Base Graph)扩展得来，有BG1跟BG2两种选择，另外还需计算扩展因子 Z c Z_c Zc， Z c Z_c Zc的计算方法可以参考LDPC编码流程一文。计算出 Z c Z_c Zc后就能根据下面的表得出set index i L S i_{LS} iLS的值

结合Base Graph， i L S i_{LS} iLS和协议中章节5.3.2给出的表，就能构造出基矩阵 H B G H_{BG} HBG，BG1基矩阵的维度是 46 ∗ 68 46 * 68 46∗68，BG2基矩阵的维度是 42 ∗ 52 42 * 52 42∗52：

因为BG取值范围1 ~ 2， i L S i_{LS} iLS取值范围为0 ~ 7，所以一共有18种基矩阵的可能性，可以参考[②5G NR]: LDPC编码H_BG矩阵C代码实例一文。

下面就是 H B G H_{BG} HBG的展开， H B G H_{BG} HBG中行列的每一个元素代表的都是一个 Z c ∗ Z c Z_c * Z_c Zc∗Zc的矩阵，如果元素值为 i i i，那么扩展后就是一个 Z c ∗ Z c Z_c * Z_c Zc∗Zc的 P i P^i Pi矩阵，如果行列元素的值在协议的表中没有给出(记为 − 1 -1 −1)，那么扩展后就是一个 Z c ∗ Z c Z_c * Z_c Zc∗Zc的零矩阵。下面举个例子假设

H B G = [ 1 − 1 3 2 0 − 1 − 1 4 2 ] Z C = 5 H_{BG}=\begin{bmatrix} 1&-1&3\\ 2&0&-1\\ -1&4&2\\ \end{bmatrix}Z_C=5 HBG= 12−1−1043−12 ZC=5

那么展开后的PCM就为：

$[④5G NR]: 5G LDPC编码算法,[④5G NR]: 5G LDPC编码算法,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,使用,我们,方法,第5张$

（图片来源网络，侵删）

用零矩阵和 P i P^i Pi矩阵表示的话就是：

H = [ P 1 0 P 3 P 2 P 0 0 0 P 4 P 2 ] H=\begin{bmatrix} P^1&0&P^3\\ P^2&P^0&0\\ 0&P^4&P^2\\ \end{bmatrix} H= P1P200P0P4P30P2

快速编码算法

因为是systematic的编码，LDPC编码后的结果并不是把原来的信息比特改的面目全非，而是在原来的信息比特后面接上新的校验比特数据，比如说在BG2下，编码后的码长为 52 Z c 52Z_c 52Zc，其中 10 Z c 10Z_c 10Zc是原来的信息比特部分， 42 Z c 42Z_c 42Zc是新生成的校验比特部分。下面是BG2， i L S = 2 i_{LS}=2 iLS=2 的一个 H B G H_{BG} HBG实例：

const int16_t h_bg2_a5_[42][52] = {
  {  0,   0,   0,   0,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,   0,   0,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {137,  -1,  -1, 124,   0,   0,  88,   0,   0,  55,  -1,   0,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { 20,  94,  -1,  99,   9,  -1,  -1,  -1, 108,  -1,   1,  -1,   0,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,  38,  15,  -1, 102, 146,  12,  57,  53,  46,   0,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0, 136,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 157,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0, 131,  -1,  -1,  -1, 142,  -1, 141,  -1,  -1,  -1,  64,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1, 124,  -1,  99,  -1,  45,  -1, 148,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  45,  -1, 148,  -1,  -1,  -1,  96,  -1,  78,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  65,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  87,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  97,  -1,  51,  85,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  17,  -1,  -1,  -1,  -1, 156,  20,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   7,  -1,   4,  -1,  -1,  -1,   2,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1, 113,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  48,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0, 112,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 102,  -1,  -1,  -1,  -1,  26,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1, 138,  -1,  -1,  -1,  -1,  57,  -1,  27,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  73,  99,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  79,  -1, 111, 143,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  24,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 109,  18,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  18,  86,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0, 158,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 154,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1, 148,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 104,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  17,  -1,  -1,  -1,  -1,  33,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,   4,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  75,  -1, 158,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  69,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  87,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  65,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1, 100,  -1,  -1,  -1,  -1,  13,   7,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  32,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0, 126,  -1,  -1, 110,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1, 154,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,  -1,   0,  -1,  -1,  35,  -1,  51,  -1, 134,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  20,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  20,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1, 122,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  88,  -1,  -1,  13,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  19,  78,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1, 157,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   6,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  63,  -1,  -1,  -1,  -1,  82,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1, 144,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,  93,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  19,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1},
  {  0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  24,  -1,  -1,  -1,  -1, 138,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1,  -1},
  { -1,  -1,   0,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  36,  -1,  -1, 143,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0,  -1},
  { -1,   0,  -1,  -1,  -1,   2,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  55,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,  -1,   0}
};

根据LDPC的校验关系，LDPC的码字 c ⃗ \vec{c} c 满足下面的关系：

H c ⃗ = 0 ⃗ H\vec{c}=\vec{0} Hc =0

在BG2中，可以将码字 c ⃗ \vec{c} c 分成52个 Z c Z_c Zc长的码块 { c i ⃗ } \lbrace\vec{c_i}\rbrace {ci }， c i ⃗ ∈ { 0 , 1 } Z \vec{c_i}\in\lbrace0,1\rbrace^Z ci ∈{0,1}Z:

c ⃗ = [ I 0 ⃗ , I 1 ⃗ , . . . , I 9 ⃗ , P 0 ⃗ , P 1 ⃗ , P 2 ⃗ , P 3 ⃗ . . . , P 41 ⃗ ] \vec{c}=[\vec{I_0},\vec{I_1},...,\vec{I_9},\vec{P_0},\vec{P_1},\vec{P_2},\vec{P_3}...,\vec{P_{41}}] c =[I0 ,I1 ,...,I9 ,P0 ,P1 ,P2 ,P3 ...,P41 ]

其中 I i ⃗ ， I i ⃗ ∈ { 0 , 1 } Z \vec{I_i}，\vec{I_i}\in\lbrace0,1\rbrace^Z Ii ，Ii ∈{0,1}Z是原来的信息比特部分， P i ⃗ ， P i ⃗ ∈ { 0 , 1 } Z \vec{P_i}，\vec{P_i}\in\lbrace0,1\rbrace^Z Pi ，Pi ∈{0,1}Z是校验比特部分。校验矩阵的每一行都定义了校验方程组满足：

∑ H i j c j ⃗ = 0 ⃗ \sum{H_{ij}}\vec{c_j}=\vec{0} ∑Hijcj =0

因为 H H H是由 H B G H_{BG} HBG展开得来，上面的校验方程也等价为：

∑ P a i j c j ⃗ = 0 ⃗ \sum{P^{a_{ij}}}\vec{c_j}=\vec{0} ∑Paijcj =0 ， a i j a_{ij} aij为 H B G H_{BG} HBG中的值，也可以写作 ∑ σ a i j c j ⃗ = 0 ⃗ \sum{σ^{a_{ij}}}\vec{c_j}=\vec{0} ∑σaijcj =0 ，这里我们发现对 c j ⃗ \vec{c_j} cj 的操作就是循环左移。

[ P a 0 , 0 P a 0 , 1 ⋯ P a 0 , 51 ⋮ ⋮ ] [ I 0 ⃗ I 1 ⃗ ⋮ I 9 ⃗ P 0 ⃗ P 1 ⃗ ⋮ P 41 ⃗ ] = 0 ⃗ \begin{bmatrix} P^{a_{0,0}}&P^{a_{0,1}}&\cdots & P^{a_{0,51}}\\ \vdots&&&\vdots\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{I_0}\\ \vec{I_1}\\ \vdots\\ \vec{I_9}\\ \vec{P_0}\\ \vec{P_1}\\ \vdots\\ \vec{P_{41}}\\ \end{bmatrix}=\vec{0} Pa0,0⋮Pa0,1⋯Pa0,51⋮ I0 I1 ⋮I9 P0 P1 ⋮P41 =0

从本例中的 H B G H_{BG} HBG我们可以看出基矩阵的结构是有些特殊的，所以在算法中我们不需要展开校验矩阵 H H H，直接用 H B G H_{BG} HBG来计算 P i ⃗ \vec{P_i} Pi ， H B G H_{BG} HBG可以分解成下面的结构：

首先我们要计算 P 0 ⃗ \vec{P_0} P0 ~ P 3 ⃗ \vec{P_3} P3 ，在本例中我们可以找到一个 4 ∗ 4 4*4 4∗4的核心校验矩阵：

[ 0 0 − 1 − 1 − 1 0 0 − 1 1 − 1 0 0 0 − 1 − 1 0 ] \begin{bmatrix} 0&0&-1&-1\\ -1&0&0&-1\\ 1&-1&0&0\\ 0&-1&-1&0\\ \end{bmatrix} 0−11000−1−1−100−1−1−100

每个 H B G H_{BG} HBG的核心校验矩阵可能不太一样，但是前4行校验方程组的 P i ⃗ \vec{P_i} Pi 部分只跟 P 0 ⃗ \vec{P_0} P0 ~ P 3 ⃗ \vec{P_3} P3 相关( H B G H_{BG} HBG右上角部分扩展后都是零矩阵)，而且累加必定会把 P 1 ⃗ \vec{P_1} P1 ~ P 3 ⃗ \vec{P_3} P3 约掉(二进制加法)，就能先求出 P 0 ⃗ \vec{P_0} P0 ，比如在本例中，前4行校验方程组为：

① I 0 ⃗ + I 1 ⃗ + I 2 ⃗ + I 3 ⃗ + I 6 ⃗ + I 9 ⃗ + I 10 ⃗ + P 0 ⃗ + P 1 ⃗ = 0 ⃗ \vec{I_0}+\vec{I_1}+\vec{I_2}+\vec{I_3}+\vec{I_6}+\vec{I_9}+\vec{I_{10}}+\vec{P_0}+\vec{P_1}=\vec{0} I0 +I1 +I2 +I3 +I6 +I9 +I10 +P0 +P1 =0

② P 137 I 0 ⃗ + P 124 I 3 ⃗ + I 4 ⃗ + I 5 ⃗ + P 88 I 6 ⃗ + I 7 ⃗ + I 8 ⃗ + P 55 I 9 ⃗ + P 1 ⃗ + P 2 ⃗ = 0 ⃗ P^{137}\vec{I_0}+P^{124}\vec{I_3}+\vec{I_4}+\vec{I_5}+P^{88}\vec{I_6}+\vec{I_7}+\vec{I_8}+P^{55}\vec{I_9}+\vec{P_1}+\vec{P_2}=\vec{0} P137I0 +P124I3 +I4 +I5 +P88I6 +I7 +I8 +P55I9 +P1 +P2 =0

③ P 20 I 0 ⃗ + P 94 I 1 ⃗ + P 99 I 3 ⃗ + P 9 I 4 ⃗ + P 88 I 6 ⃗ + P 108 I 8 ⃗ + P 1 P 0 ⃗ + P 2 ⃗ + P 3 ⃗ = 0 ⃗ P^{20}\vec{I_0}+P^{94}\vec{I_1}+P^{99}\vec{I_3}+P^{9}\vec{I_4}+P^{88}\vec{I_6}+P^{108}\vec{I_8}+P^{1}\vec{P_0}+\vec{P_2}+\vec{P_3}=\vec{0} P20I0 +P94I1 +P99I3 +P9I4 +P88I6 +P108I8 +P1P0 +P2 +P3 =0

④ P 38 I 1 ⃗ + P 15 I 2 ⃗ + P 102 I 4 ⃗ + P 146 I 5 ⃗ + P 12 I 6 ⃗ + P 57 I 7 ⃗ + P 53 I 8 ⃗ + P 46 I 9 ⃗ + P 0 ⃗ + P 3 ⃗ = 0 ⃗ P^{38}\vec{I_1}+P^{15}\vec{I_2}+P^{102}\vec{I_4}+P^{146}\vec{I_5}+P^{12}\vec{I_6}+P^{57}\vec{I_7}+P^{53}\vec{I_8}+P^{46}\vec{I_9}+\vec{P_0}+\vec{P_3}=\vec{0} P38I1 +P15I2 +P102I4 +P146I5 +P12I6 +P57I7 +P53I8 +P46I9 +P0 +P3 =0

如果① + ② + ③ + ④，就能得到：

∑ + P 1 P 0 ⃗ = 0 ⃗ ⟶ ∑ = P 1 P 0 ⃗ \sum+P^{1}\vec{P_0}=\vec{0}\longrightarrow\sum=P^{1}\vec{P_0} ∑+P1P0 =0 ⟶∑=P1P0 ， ∑ \sum ∑为信息比特相关的累加部分

P a i j c j ⃗ P^{a_{ij}}\vec{c_j} Paijcj 部分在C代码中实现也比较简单，就是向量的循环左移，计算出 P 0 ⃗ \vec{P_0} P0 后，将值带入① ，②， ③中就能依次算出 P 1 ⃗ \vec{P_1} P1 ， P 2 ⃗ \vec{P_2} P2 ， P 3 ⃗ \vec{P_3} P3 。

我们再次观察 H B G H_{BG} HBG的右下角部分，这个部分的矩阵对角线为0，其余部分为-1，所以接下来的扩展校验部分 P 4 ⃗ \vec{P_4} P4 ~ P 41 ⃗ \vec{P_{41}} P41 ，都可以由每一行的信息比特部分加上 P 0 ⃗ \vec{P_0} P0 ~ P 3 ⃗ \vec{P_3} P3 的组合通过校验方程组得出，而且一定能按照顺序依次得出。

比如第5行，这里的 ∑ \sum ∑为每一行的信息比特累加部分：