【算法系列 | 4】深入解析排序算法之——归并排序

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序言

你只管努力，其他交给时间，时间会证明一切。

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决定开一个算法专栏，希望能帮助大家很好的了解算法。主要深入解析每个算法，从概念到示例。

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今天第3讲，讲一下排序算法的归并排序（Merge Sort）

1 基础介绍

排序算法是很常见的一类问题，主要是将一组数据按照某种规则进行排序。

以下是一些常见的排序算法：
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1. 冒泡排序（Bubble Sort）
2. 插入排序（Insertion Sort）
3. 选择排序（Selection Sort）
4. 归并排序（Merge Sort）
5. 快速排序（Quick Sort）
6. 堆排序（Heap Sort）
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一、基本介绍介绍

1.1 原理介绍

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治思想的排序算法，它将待排序的数组分成两部分，分别对这两部分递归地进行排序，最后将两个有序子数组合并成一个有序数组。它的时间复杂度为 O(nlogn)。

归并排序的基本思路是将待排序的数组分成两个部分，分别对这两部分进行排序，然后将排好序的两部分合并成一个有序数组。这个过程可以用递归来实现。具体的实现步骤如下：
1. 分解：将待排序的数组不断分成两个子数组，直到每个子数组只有一个元素为止。
2. 合并：将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，直到最后只剩下一个有序数组为止。
合并的过程中，需要用到一个辅助数组来暂存合并后的有序数组。具体来说，假设待合并的两个有序数组分别为 A 和 B，它们的长度分别为 n 和 m，合并后的有序数组为 C，那么合并的过程可以按如下步骤进行：
1. 定义三个指针 i、j 和 k，分别指向数组 A、B 和 C 的起始位置。
2. 比较 A[i] 和 B[j] 的大小，将小的元素放入 C[k] 中，并将对应指针向后移动一位。
3. 重复步骤 2，直到其中一个数组的元素全部放入 C 中。
4. 将另一个数组中剩余的元素放入 C 中。
归并排序的优点是稳定性好，即对于相等的元素，在排序前后它们的相对位置不会改变。缺点是需要额外的空间来存储辅助数组。

原理简单示例

以下是一个示例，演示了如何使用归并排序对一个数组进行排序：

假设要对数组 [5, 2, 4, 6, 1, 3] 进行排序。
1. 首先将数组分成两部分：[5, 2, 4] 和 [6, 1, 3]。
2. 对左右两部分分别递归调用归并排序。对于左半部分，继续进行分解，将其分成两部分：[5] 和 [2, 4]。对于右半部分，也进行相同的操作，将其分成两部分：[6] 和 [1, 3]。
  
  对于 [5] 和 [2, 4]，由于它们的长度都小于等于 1，因此直接返回它们本身。对于 [6] 和 [1, 3]，同样返回它们本身。
3. 接下来将排好序的左右两部分合并成一个有序数组。对于左半部分，由于它只有一个元素，因此可以直接将其作为有序数组。对于右半部分，需要将 [1, 3] 进行排序，排序后得到 [1, 3, 6]。
4. 将排好序的左右两部分合并成一个有序数组。对于左半部分，指针 i 指向其起始位置，即 0；对于右半部分，指针 j 指向其起始位置，即 0。比较左右两部分的元素大小，发现左半部分的第一个元素 5 大于右半部分的第一个元素 1，因此将 1 添加到新的数组 sorted_arr 中，并将右半部分的指针 j 向后移动一位。此时，sorted_arr 的内容为 [1]。接着比较左半部分的第二个元素 2 和右半部分的第一个元素 3，发现左半部分的元素较小，因此将 2 添加到 sorted_arr 中，并将左半部分的指针 i 向后移动一位。此时，sorted_arr 的内容为 [1, 2]。接着继续比较左右两部分的元素大小，将它们依次添加到 sorted_arr 中。最终得到排好序的数组 [1, 2, 3, 5, 6]。
因此，对于输入的数组 [5, 2, 4, 6, 1, 3]，使用归并排序后得到的排好序的数组为 [1, 2, 3, 4, 5, 6]。

1.2 复杂度

归并排序的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是待排序数组的长度。

这个复杂度可以通过分治的思想来解释。

首先将待排序的数组分成两部分，对每一部分递归调用归并排序，然后将两部分合并成一个有序数组。

每次递归调用都将数组的长度减半，因此需要进行 logn 次递归调用。在每个递归层次中，需要将两个有序数组合并成一个有序数组，这一过程需要线性时间 O(n)。因此，归并排序的总时间复杂度为 O(nlogn)。

归并排序的空间复杂度为 O(n)，其中 n 是待排序数组的长度。在排序过程中，需要使用一个辅助数组来存储合并后的有序数组。

这个辅助数组的长度等于待排序数组的长度，因此归并排序的空间复杂度为 O(n)。如果实现中使用链表来存储数据，空间复杂度可以降低为 O(1)。

1.3使用场景

归并排序的应用场景比较广泛，主要适用于以下几种情况：
1. 对于大规模的数据排序：归并排序的时间复杂度为 O(nlogn)，相比于其他排序算法如冒泡排序、插入排序等，它在处理大规模数据时更加高效。
2. 对于稳定排序的需求：归并排序是一种稳定排序算法，即对于相等的元素，在排序前后它们的相对位置不会改变。
3. 对于需要保证排序稳定性的需求：归并排序是一种基于比较的排序算法，不依赖于数据的初始状态，具有较好的稳定性。
4. 对于需要多路排序的需求：归并排序可以轻松地扩展到多路排序，即将待排序的数组分成多个子数组，对每个子数组分别进行归并排序，然后将它们合并成一个有序数组。
5. 对于需要外部排序的需求：归并排序可以应用于外部排序，即在排序过程中将数据存储在外部存储器中，而不是在内存中。在外部排序中，需要使用多路归并排序来合并不同的子文件。
总的来说，归并排序是一种高效、稳定的排序算法，适用于大规模数据的排序、需要保证排序稳定性的需求以及外部排序等场景。

二、代码实现

2.1 Python 实现

以下是使用 Python 实现归并排序的完整代码：
```
def merge_sort(arr):
    if len(arr) 
```