NSGA-II改进之种群初始化

NSGA-II改进之种群初始化

• • 1-什么是佳点集
  • 2-佳点集初始化种群的方法
  • 3-佳点集初始化种群与随机初始化种群的对比
  • 4-佳点集初始化种群代码（matlab）
  • 5-画图对比

    原NSGA-II的算法在初始化种群的时候采用的是随机生成。随机代表着不确定，且随机生成的种群在整个空间上表现为不均匀；为消除随机初始化带来的不确定，和种群在空间上分布不均匀问题，由此引出新的初始化种群方式：佳点集生成种群

    
    （图片来源网络，侵删）

    注：种群的初始化结果是否对种群的进化是否有影响，个人并没有做太大的研究，仁者见仁智者见智。

    1-什么是佳点集

    佳点集最初是由华罗庚等提出，基本定义和构造为：

    假设 G s 是 s 维的欧式几何空间，那么 r ∈ G s , 那么 P n ( i ) = ( r 1 i i , r 2 i 2 , r 3 i 3 , . . . r n i n ) , i = 1 , 2 , 3 , . . . n 。 n 表示样本数量， P n ( i ) 表示佳点集，而 r 指的是佳点，一般取 r = { 2 c o s ( 2 π j k ) i , 1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ j ≤ s } 或者取 r = { e j i } 。其中 k 是满足 ( k − 3 ) / 2 ≥ 的最小素数。 \begin{aligned} &假设Gs是s维的欧式几何空间，那么r\in Gs,那么P_n(i)=(r_1i_i,r_2i_2,r_3i_3,...r_ni_n),i=1,2,3,...n。 \\&n表示样本数量，P_n(i)表示佳点集，而r指的是佳点，一般取 r=\begin{Bmatrix} 2cos(\frac{2\pi j}{k})i, 1\leq i\leq n;1\leq j\leq s \end{Bmatrix} 或者取 \\&r=\begin{Bmatrix} e^ji \end{Bmatrix}。其中k是满足( k − 3 ) / 2 ≥ 的最小素数。 \end{aligned} ​假设Gs是s维的欧式几何空间，那么r∈Gs,那么Pn​(i)=(r1​ii​,r2​i2​,r3​i3​,...rn​in​),i=1,2,3,...n。n表示样本数量，Pn​(i)表示佳点集，而r指的是佳点，一般取r={2cos(k2πj​)i,1≤i≤n;1≤j≤s​}或者取r={eji​}。其中k是满足(k−3)/2≥的最小素数。​

    2-佳点集初始化种群的方法

    已知：种群所在的空间维度为n，种群数量为m

    s t e p 1 : 计算 r 值， r = ( r 1 , r 2 , . . . r n ) , 其中 r j = m o d ( 2 c o s ( 2 π j 7 ) m i , 1 ) , 1 ≤ j ≤ n 。 m i 表示第 i 个个体 s t e p 2 ：构造数量 m 的佳点集： P n ( i ) = { ( r 1 i 1 , r 2 i 2 , . . . r n i n ) } , i = 1 , 2 , 3 , . . . n s t e p 3 : 将 P n 映射到种群所在的可行域上： X i j = a j + P n ( i ) ( b j − a j ) 其中 a j 表示当前维度的下限， b j 表示当前维度的上限 \begin{aligned} &step1:计算r值，r=(r_1,r_2,...r_n),其中r_j=mod(2cos(\frac{2\pi j}{7})m_i,1),1\leq j\leq n。m_i表示第i个个体\\ \\&step2：构造数量m的佳点集： \\& P_n(i)=\begin{Bmatrix} (r_1i_1,r_2i_2,...r_ni_n) \end{Bmatrix} ,i=1,2,3,...n\\ \\&step3:将P_n映射到种群所在的可行域上：\\ &X_i^j=a_j+P_n(i)(b_j-a_j) \\&其中a_j表示当前维度的下限，b_j表示当前维度的上限 \end{aligned} ​step1:计算r值，r=(r1​,r2​,...rn​),其中rj​=mod(2cos(72πj​)mi​,1),1≤j≤n。mi​表示第i个个体step2：构造数量m的佳点集：Pn​(i)={(r1​i1​,r2​i2​,...rn​in​)​},i=1,2,3,...nstep3:将Pn​映射到种群所在的可行域上：Xij​=aj​+Pn​(i)(bj​−aj​)其中aj​表示当前维度的下限，bj​表示当前维度的上限​

    3-佳点集初始化种群与随机初始化种群的对比

    假设种群规模为100

    

    佳点集生成

    

    随机生成

    
    （图片来源网络，侵删）

    4-佳点集初始化种群代码（matlab）

    % pop_size：种群数量
    % dimension：维度
    % bound：取值范围
    function pop = init_pop(pop_size,dimension,bounds)
    %佳点集生成初始种群
    p = zeros(pop_size,dimension);
    prime_number_min = dimension*2 +3;
    % 找到(prime_number_min-3)/2>=dimension的最小素数prime_number_min
    while 1
        if isprime(prime_number_min)==1
            break;
        else
           prime_number_min = prime_number_min + 1;
        end
    end
    for i = 1:pop_size
        for j = 1:dimension
            r = mod(2*cos(2*pi*j/prime_number_min)*i,1);% 对应维度的r
    %         r = mod(exp(j)*i,1);
            p(i,j) = bounds(j,1)+r*(bounds(j,2)-bounds(j,1));
        end
    end
    pop = p;
    end
    % %随机i生成定义域范围内种群
    % p = rand(pop_size,dimension);%生成popsize*dimension的0-1矩阵
    % for i = 1:dimension
    %     p(:,i) = bounds(i,1)+p(:,i)*(bounds(i,2)-bounds(i,1));
    % end
    

    5-画图对比

    function test_plot_pop()
    % 分别画出2维，3维情况下采用佳点集和随机生成图的对比
    % 定于种群大小
    pop_size = 100;
    % 定义种群的取值范围 
    dimension_2 = 2;
    dimension_3 = 3;
    bounds_2 = [ones(dimension_2,1)*0,ones(dimension_2,1)*1];
    bounds_3 = [ones(dimension_3,1)*0,ones(dimension_3,1)*1];
    % 二维、三维的佳点集种群
    pop2 = init_pop(pop_size,dimension_2,bounds_2);
    pop3 = init_pop(pop_size,dimension_3,bounds_3);
    % 二维、三维随机生成的种群
    pop2_rand = init_pop_rand(pop_size,dimension_2,bounds_2);
    pop3_rand = init_pop_rand(pop_size,dimension_3,bounds_3);
    % 画出二维下图形佳点集种群，和随机种群
    subplot(2,2,1)
    plot(pop2(:,1),pop2(:,2),'*')
    subplot(2,2,2)
    plot(pop2_rand(:,1),pop2_rand(:,2),'*')
    subplot(2,2,3)
    plot3(pop3(:,1),pop3(:,2),pop3(:,3),'*')
    subplot(2,2,4)
    plot3(pop3_rand(:,1),pop3_rand(:,2),pop3_rand(:,3),'*')
    end
    %%
    % pop_size：种群数量
    % dimension：维度
    % bound：取值范围
    function pop = init_pop(pop_size,dimension,bounds)
    %佳点集生成初始种群
    p = zeros(pop_size,dimension);
    prime_number_min = dimension*2 +3;
    % 找到(prime_number_min-3)/2>=dimension的最小素数prime_number_min
    while 1
        if isprime(prime_number_min)==1
            break;
        else
           prime_number_min = prime_number_min + 1;
        end
    end
    for i = 1:pop_size
        for j = 1:dimension
            r = mod(2*cos(2*pi*j/prime_number_min)*i,1);% 对应维度的r
    %         r = mod(exp(j)*i,1);
            p(i,j) = bounds(j,1)+r*(bounds(j,2)-bounds(j,1));
        end
    end
    pop = p;
    end
    %%
    function pop = init_pop_rand(pop_size,dimension,bounds)
    %随机i生成定义域范围内种群
    p = rand(pop_size,dimension);%生成popsize*dimension的0-1矩阵
    for i = 1:dimension
        p(:,i) = bounds(i,1)+p(:,i)*(bounds(i,2)-bounds(i,1));
    end
    pop = p;
    end
    

    

    可以把图画出来之后旋转不同视角下的分布对比。

    
    （图片来源网络，侵删）