【格与代数系统】特殊的格

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【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

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【格与代数系统】基本概念和性质

格 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 与其诱导的代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第3张$ 可以看作格的两种表现形式。

分配格

有界格

有补格

$【格与代数系统】特殊的格,【格与代数系统】特殊的格,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第4张$

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布尔代数

例1

例2

对偶格

软代数

完备格

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稠密性

优软代数

小结

分配格

设 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第3张$ 是格，若其上的两个二元运算满足分配律，即对任意的 $【格与代数系统】特殊的格,a,b,c\in L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第7张$ ，

$【格与代数系统】特殊的格,a\bigwedge(b\bigvee c)=(a\bigwedge b)\bigvee(a\bigwedge c)\\a\bigvee(b\bigwedge c)=(a\bigvee b)\bigwedge(a\bigvee c),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第8张$

则称 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第3张$ 是分配格。

格+分配律 $【格与代数系统】特殊的格,\rightarrow,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第10张$ 分配格

有界格

设 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是格，若 $【格与代数系统】特殊的格,L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第12张$ 既有最大元，又有最小元，则称 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是有界格。

有界：上、下界均存在

设 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，则对任意 $【格与代数系统】特殊的格,a\in L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第15张$ ,有 $【格与代数系统】特殊的格,0\leq a \leq 1,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第16张$ ，且

$【格与代数系统】特殊的格,a\bigvee1=1,\quad a\bigwedge1=a,\quad a\bigvee0=a,\quad a\bigwedge0=0,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第17张$

有补格

设 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，设 $【格与代数系统】特殊的格,a\in L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第15张$ ，若存在 $【格与代数系统】特殊的格,b\in L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第20张$ ，使得

$【格与代数系统】特殊的格,a\bigvee b=1,\quad a\bigwedge b=0,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第21张$

则称b是a的一个补元。若 $【格与代数系统】特殊的格,L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第12张$ 中的每一个元素都有补元，则称 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是有补格。

当补元唯一时，用 $【格与代数系统】特殊的格,a^{c},词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第24张$ 来表示 $【格与代数系统】特殊的格,a,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第25张$ 的补元。

布尔代数

若 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 既是有补格，又是分配格，则称 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是布尔代数或布尔格。

有补+分配 $【格与代数系统】特殊的格,\rightarrow,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第10张$ 布尔代数

若 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\leq ),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第11张$ 是布尔代数，则 $【格与代数系统】特殊的格,L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第12张$ 中的每一个元素都有唯一的补元。

布尔代数中有三种运算，二元运算 $【格与代数系统】特殊的格,\bigvee,\bigwedge,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第31张$ 和一元运算——补运算，因此布尔代数可记为 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}}),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第32张$ 。

布尔代数 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}}),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第32张$ 上的运算满足：

1.复原律： $【格与代数系统】特殊的格,(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第34张$

2.补余律： $【格与代数系统】特殊的格,a\bigvee a^{\mathrm{c}}=1,a\bigwedge a^{\mathrm{c}}=0,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第35张$

3.对偶律： $【格与代数系统】特殊的格,(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c},词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第36张$

例1

由格 $【格与代数系统】特殊的格,(\{0,1\},\leqslant),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第37张$ 诱导的代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(\{0,1\},V,\wedge),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第38张$ ,其中

$【格与代数系统】特殊的格,$ \begin{aligned}a\bigvee b=\max\{a,b\},\quad a\bigwedge b=\min\{a,b\}.\end{aligned} $,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第39张$

设任意的 $【格与代数系统】特殊的格,$a\in\{0,1\}$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第40张$ , 定义 $【格与代数系统】特殊的格,$a^c=1-a$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第41张$ , 则代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(\{0,1\},\bigvee,\bigwedge,\quad^c),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第42张$ 是布尔代数.

例2

代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,$(\mathcal{P}(X),\bigcup,\bigcap,^c)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第43张$ 是布尔代数，且可视其为由格 $【格与代数系统】特殊的格,(\mathcal{P}(X),\subseteq),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第44张$ 诱导的代数系统，其中

$【格与代数系统】特殊的格,$ A\bigcup B=\sup\{A,B\},\quad A\bigcap B=\inf\{A,B\}. $,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第45张$

对偶格

设 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是格，在其上定义一种补运算，即对任意的 $【格与代数系统】特殊的格,$a\in L$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第47张$ , 存在唯一的 $【格与代数系统】特殊的格,$a^\mathrm{c}$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第48张$ 与之对应.若满足

1.复原律 $【格与代数系统】特殊的格,$(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第49张$

2.对偶律 $【格与代数系统】特殊的格,$(a\bigvee b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigwedge b^{\mathrm{c}},(a\bigwedge b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigvee b^{\mathrm{c}}$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第50张$ ,

则称 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是对偶格。

软代数

若 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 既是有界格，又是对偶格、分配格，则称 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 诱导的代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}}),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第32张$ 是软代数。

布尔代数一定是软代数

完备格

设 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是格，若 $【格与代数系统】特殊的格,L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第12张$ 的任意非空子集的上、下确界都存在，则称 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是完全格或完备格。

完备格一定是有界格

设 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是完备格， $【格与代数系统】特殊的格,A,B \subseteq L,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第59张$ ,则有

1. $【格与代数系统】特殊的格,\bigvee(A\bigcup B)=(\bigvee A)\bigvee(\bigvee B),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第60张$

2. $【格与代数系统】特殊的格,\bigwedge(A\bigcup B)=(\bigwedge A)\bigwedge(\bigwedge B),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第61张$

无限分配律：

完备格 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ ，代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第3张$ ，若两个运算满足：

$【格与代数系统】特殊的格,\begin{aligned}a\wedge(\bigvee_{i\in I}b_i)&=\bigvee_{i\in I}(a\wedge b_i)\a\vee(\bigwedge_{i\in I}b_i)&=\bigwedge_{i\in I}(a\bigvee b_i)\end{aligned},词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第64张$

则称 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 满足无限分配律

稠密性

设 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是格，若对任意 $【格与代数系统】特殊的格,$a,b\in L,ab$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第67张$ , 都存在 $【格与代数系统】特殊的格,$c\in L$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第68张$ ,使 $【格与代数系统】特殊的格,$acb$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第69张$ ,则称 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是稠密的。

任意两元间仍有一元

优软代数

若 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 是稠密的对偶格，且满足完全分配律，则 $【格与代数系统】特殊的格,$(L,\leqslant)$,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第2张$ 诱导的代数系统 $【格与代数系统】特殊的格,(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}}),词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第32张$ 称为优软代数。

稠密+对偶+完全分配律 $【格与代数系统】特殊的格,\rightarrow,词库加载错误:未能找到文件“C:\Users\Administrator\Desktop\火车头9.8破解版\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。,关系,系统,第10张$ 优软代数

优软代数一定是软代数