线性代数笔记11--矩阵空间、秩1矩阵

1. 矩阵空间

所有的 3 × 3 3 \times 3 3×3矩阵构成的空间 M M M。

考虑空间 M M M的子空间

• 上三角矩阵
• 对称矩阵
• 对角矩阵

  3 x 3 3x3 3x3矩阵空间的基:

  [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} ​100​000​000​ ​ ​000​100​000​ ​ ​000​000​100​ ​ ​010​000​000​ ​ ​000​010​000​ ​ ​000​000​010​ ​ ​001​000​000​ ​ ​000​001​000​ ​ ​000​000​001​ ​

  所以其维度为 9 9 9。

  d i m ( M ) = 9 dim(M)=9 dim(M)=9

  3 × 3 3 \times 3 3×3对称矩阵的基为 M M M的基的 6 6 6个。

  d i m ( S ) = 6 dim(S)=6 dim(S)=6

  3 × 3 3 \times 3 3×3上三角矩阵的基个数也为 6 6 6个。

  d i m ( U ) = 6 dim(U)=6 dim(U)=6

  既是对称矩阵又是上三角矩阵的空间为对角空间。其基空间数为 3 3 3

  d i m ( S ∧ U ) = d i m ( D ) = 3 dim(S \wedge U)=dim(D)=3 dim(S∧U)=dim(D)=3

  取对称矩阵与上三角矩阵的和空间 S + U S+U S+U

  即 ∀ s 1 ∈ S + ∀ u 1 ∈ U    ⟺    S + U \forall s_1 \in S+\forall u_1\in U \iff S+U ∀s1​∈S+∀u1​∈U⟺S+U

  d i m ( S + U ) = 9 dim(S+U)=9 dim(S+U)=9;为什么？

  对于上三角矩阵，一定可以拿出 6 6 6个基向量即可？

  我们可以通过对称矩阵加上三角矩阵的基矩阵来形成下三角矩阵中剩下的 3 3 3个基。

  所以可以得到 9 9 9个基。

  如

  
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  [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ] + [ 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&-1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} ​010​000​000​ ​= ​010​100​000​ ​+ ​000​−100​000​ ​

  观察得到关系式

  d i m ( S ) + d i m ( U ) = 6 + 6 = d i m ( S ∧ U ) + d i m ( S + U ) = 3 + 9 dim(S)+dim(U)=6+6=dim(S \wedge U)+dim(S +U)=3+9 dim(S)+dim(U)=6+6=dim(S∧U)+dim(S+U)=3+9

  1.1 微分方程中的空间

  d 2 y d x 2 + y = 0 \frac{d^2y}{dx^2}+y=0 dx2d2y​+y=0

  一个解空间为

  c 1 sin ⁡ x + c 2 cos ⁡ x c_1\sin x+c_2\cos x c1​sinx+c2​cosx

  这个解空间维度为

  d i m ( S ( e q u a ) ) = 2 dim(S(equa))=2 dim(S(equa))=2

  2. 秩1矩阵

  A = [ 1 4 5 2 8 10 ] = [ 1 2 ] [ 1 4 5 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 4 & 5 \end{bmatrix} A=[12​48​510​]=[12​][1​4​5​]

  所有秩 1 1 1矩阵都可以转换为 1 1 1列矩阵乘 1 1 1行矩阵。

  2.1 子空间例题1

  M M M为所有 5 × 17 5 \times17 5×17矩阵秩为 1 1 1矩阵的子集，是否构成子空间？

  不构成。

  • 不包含零空间
  • 两个相同秩的矩阵可能会形成更大的秩空间

    2.2 子空间例题2

    在 R 4 R^4 R4中，

    v = [ v 1 v 2 v 3 v 4 ] v= \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{bmatrix} v= ​v1​v2​v3​v4​​ ​

    S : v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0 S: v_1+v_2+v_3+v_4=0 S:v1​+v2​+v3​+v4​=0

    A v = 0 Av=0 Av=0

    A = [ 1 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=[1​1​1​1​]

    S = N ( A ) S=N(A) S=N(A)

    N ( A ) = A = c [ − 1 1 0 0 ] + d [ − 1 0 1 0 ] + e [ − 1 0 0 1 ] N(A)= A=c\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix}+ d\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} +e\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\0 \\ 1 \end{bmatrix} N(A)=A=c ​−1100​ ​+d ​−1010​ ​+e ​−1001​ ​

    C ( A ) = R 1 C(A)=R^1 C(A)=R1

    N ( A ⊤ ) = 0 N(A^{\top})={0} N(A⊤)=0

    
    （图片来源网络，侵删）
    
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